探究距离最短问题

随着时代的发展，计算机已经进入日常生活和教学实践。计算机具有着很多优点，比如计算机它既能看得见（视觉），听得着（听觉），还能用手操作（触觉），这种多样性的刺激，比单一地听老师讲解强得多。初中数学理性知识成分太重，传统的教学只片面强调逻辑思维训练，缺乏充分的图形支持，缺乏供学生探索的环境，于是只能靠学生的死记和教师的说教了。

如何让信息技术与中学数学教学有效整合，如何让计算机成为学生学习的一个工具是需要我们不断探索的。下面就是我在探究距离最短问题中的一点尝试：

一、设计意图：

利用轴对称的性质，可以解决生活中很多“距离最短”问题，比如我们熟悉的“牵马饮水”问题，“造桥”问题等。我们平时讲解时需要很多复杂的画图、解释，操作起来耗时耗力，结果学生听得云里雾里，一知半解，每次做到类似题目时仍有很多学生不知道如何利用轴对称解题。所以在一定的基本知识讲解后，安排了一节实验课，利用几何画板去度量线段的长度，移动点的位置感受图形以及距离的变化，在实际操作中让学生去观察、分析、归纳，从而使得学生发现规律，得出结论，体验成功。

二、教学片段：

1、问题1：如图1，点A、点B在直线MN的两侧，点P是直线MN上的一个动点，点P在何处时，PA+PB最短？

    这个问题比较简单，所以学生直接回答，当点A、P、B三点在一条直线上时，PA+PB最短。然后通过几何画板进行验证。

2、问题2：如图2，点A、点B在直线MN的同侧，点P是直线MN上的一个动点，点P在何处时，PA+PB最短？

学生很快想到将这个问题转换为问题1研究。指导学生在作图工具栏里作出点A和线段PA关于直线MN的对称图形A’和A’P，度量BP、PA、BP+PA。移动点P，学生进一步得到规律：要使距离最短，必须转化成同一条直线的线段。

3、问题3：如图3，在∠AOB内部有一点P，要求在角的两边上分别找一点E、F，使得PE+PF+EF最短？

生1：原来是分别作出点P关于OB、OA的对称点P’、P’’，连接P’P’’分别交OB、OA于点F、E，则PE+PF+EF最短。现在我通过度量PE、PF、EF的长度，移动E、F的位置的确发现E、F只有在交点位置时，PE+PF+EF的值才最小。

生2：我发现，要使PE+PF+EF最短，必须使PE、PF、EF能放到同一条直线上，只有当它们共线时，长度和才最小。

师：同学们总结得很好。从实验中我们发现：（1）要善于将未知问题转化成已知问题去求解；（2）出现多个动点时，可以先假定只有一个动点，再逐步增加动点，进行探究；（3）要使几条线段的和最短，必须使它们能变换到同一条直线上，当它们满足共线的条件时，就能取得最小值。

三、教学后记：

整节课上绝大部分学生都是非常投入地参与到课堂活动中，积极地探索，对几何画板也表现出很大的兴趣和热情，他们能带着问题，在教师的引导下顺着一定的思路和方法，不断尝试，最终解决问题。很多同学都感慨说现在对“距离最短”问题清楚多了。

笔者认为信息技术本身并不会自动产生教育作用，只有同一定的教育内容、教育目标、教学组织形式、教学方法等联系起来时，其教育价值才能表现出来。凭风巧借力，送我上青云，巧借现代信息技术的优异性能可以使学生乐意并有更多精力投入到现实的、探索性的数学活动中去，从而达到优化数学教学的目的。