解析数学习题先要明确思维的目标指向

解析数学习题先要明确思维的目标指向

培养捕捉思维目标指向的能力，是培养数学思维能力尤其是思维敏捷性的重要途径．讲评和解析数学问题，一般要从大处着眼、然后从细微处着手，从大处着眼就要善于捕捉思维的目标指向．

1．思维的目标指向是切题的关键

不少学生在遇到较难的数学问题时，往往无从下手，不能把已知条件和求证、求解的目标联系起来．思维的目标指向不明，或思维目标指向方面的意识不强，是不容忽视的原因．思维的目标指向事关思维的敏捷性，是切题的关键，要快速解决数学问题，关键是要有捕捉思维目标指向的意念．

1．1  捕捉数量关系的思维目标指向

例1．老师给若干同学分苹果，每人分4个剩9个；每人分6个，则有一人所分到的苹果少于3个．有多少个苹果？多少个学生？

 [解析]两种分配方案的结果不是苹果有剩就是不够，找不到等量关系，因此把思维目标指向立不等式．且有两种方案：

（1）设共有ｘ个学生，依据第一次分配方案，苹果数为(4ｘ＋9）；再进行第二次分配，其结果是：

0＜(4ｘ＋9)－6(ｘ－1)＜3，取整数解并验算得ｘ＝7(人)……

（2）设共有y个苹果，则依据第一次分配方案学生数为(y－9）÷4；再进行第二次分配，其结果是：

0＜y－6×[(y－9)÷4－1]＜3，取整数解并验算得y＝37(个) ……

1．2  捕捉数形关系（作辅助线）的思维目标指向

例2．图示△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠CAB．讨论：AC＋CD是否等于AB？

    [解析] AC＋CD在△ACD中，AB在△ABC中，不是同一个三角形的边，不便比较．应试作辅助线以获得替代AC＋CD或替代AB的一条直线，所以延长AC至E，且有两种可能的方案：

（1）CE＝CD.

若CE＝CD，则AC＋CD＝AE, 求证AE等于AB的条件，就看△ABE是否为等腰三角形，由于关键的已知条件是AD平分∠CAB，属于角的等量关系（∠CAD＝∠DAB），思维目标应指向∠ABE等于∠AEB成立的条件．可简明的推导出：

AC＋CD＝AB成立的条件是∠CAB＝45°．

（2）AE＝AB．

求证目标就演变成讨论CE与CD的大小比较，思维目标进而指向三角形中大角对大边．由于关键的已知条件是AD平分∠CAB，△BAE△DAE属于等腰三角形；另外图中存在许多公用同一个锐角的相似直角三角形，∠CED与∠CDE的大小比较这一思维目标应指向有多个角的等量替换关系作支持．∠CED与∠CDE都是作辅助线产生的未知大小的角，“已知”的是△ABC中的角，故又要捕捉到∠CED与∠CDE跟∠ABC和∠BAC的关系这一思维目标．

平面几何的求证，作辅助线既是重点也是难点，作辅助线的要领就是针对具体的思维目标．学生看一步走一步或许也能解答此题，但至少教师从捕捉思维目标指向角度进行小结点评并非马后炮，这是引导学生反思理清思路，对学生思维能力的训练才能达到应有的深度和广度，才能真正提高例题解析的有效性．

解答：

∵AE＝AB，AD平分∠CAB

∴∠AEB＝∠ABE

AF⊥BE且平分BE于F

∠DBE＝∠DEB

∠CED＝∠CEB－∠DEB＝∠ABE－∠DBE＝∠ABC

∵AC⊥BC，∴∠CDE＝90°－∠CED＝90°－∠ABC＝∠BAC

从公用同一个锐角的直角三角形相似出发，亦能证明：∠CDE＝∠CAB，∠CED＝∠CBA

讨论：（1）∠CDE ＞∠CED，即：∠CAB＞45°＞∠CBA，CD＞CE，AC＋CD＞AB．

（2）∠CDE ＝∠CED，即：∠CAB＝∠CBA＝45°时，CE＝CD, AC＋CD＝AB．

（3）∠CDE ＜∠CED，即：∠CAB＜45°＜∠CBA时，CD＜CE，AC＋CD＜AB．

2．发现思维目标指向的方法技巧

2．1  设未知数“明确”已知条件与结论之间的关系

例3．时钟的时针处在“1时”与“2时”之间的某位置时，分针正好与时针垂直．请问此时是1时多少分多少秒？

 [解析]思维的目标指向是已知条件与要解决的问题之间的联系，这里的已知条件“时针的位置”是不明确的，所以解答此题不妨先把已知条件具体化，即设符合题意的时刻为(1＋ｘ)时，且ｘ＜1．

 (1＋ｘ)这一时刻确定了时针的位置为：

 [(1＋ｘ)÷12×360°]．

ｘ及时针与分针垂直确定了分针的位置为：

 (1＋ｘ)÷12×360°＋90°和 (1＋ｘ)÷12×360°＋270°．

时针指示出的“分”刻度值ｘ跟分针指示的“分”刻度值是相等的．至此，目标指向非常明确，立关于未知数ｘ的方程所需的等量关系已经确定．

x＝[(1＋ｘ)÷12×360°＋90°]÷360°或x＝[(1＋ｘ)÷12×360°＋270°]÷360°

x1＝ 4/11(小时) ≈ 21分49秒，或x2＝10/11(小时) ≈ 54分33秒．

2．2  设置未知数代表问题目标，将问题目标放到数学过程中进行分析与综合

设未知数“还原”数学现象的过程，正是立方程和立不等式解应用题使思维过程简化快捷的原因所在，因为它把数学现象形象化、过程化、具体化，实现了形象思维和抽象思维的契合．例1的解法正是这样一条具体思路．

2．3  充分发掘“已知”条件，找到解决问题的过渡环节

例4．如图所示，线段AB、BC在同一条直线上，E、F分别是AB、BC的中点，EF的长度为7cm ，BD＝1/3 AB＝1/5 CD．求AB、CD的长度．

[解析] E、F分别是AB、BC的中点，EF＝1/2AB＋1/2BC＝1/2(AB＋BC)＝1/2AC，

在已知EF长度的情况下，发掘出AC长度这一“已知”条件．

由于BD＝1/3 AB＝1/5 CD，BD的长度是解决问题的关键，思维的目标指向为“用BD表示AB、BC、AC、CD，用BD与AB、BC、AC、CD关系立方程求BD”．即：

AB＋BC＝3BD＋(CD－BD)，AC＝3BD＋(5BD－BD)，2EF＝7BD，BD＝2cm ……

用发掘出的AC长度这一“已知”条件，来发掘出BD长度这一“已知”条件，就攻破了解决问题的隘口．

2．4  对问题目标进行处理、归类或逆推，结合已知条件筛选方法

例5．如图所示，PC和圆相切于C点，PB和圆相交于A、B．求证PC²＝PA·PB

[解析]先将原式变形为PA︰PC＝PC︰PB，由这一问题目标逆推图形关系可得△PAC与△PCB相似的结论，求证几何中的比例问题又常常求助于相似形，解决问题的思维目标指向证明△PAC与△PCB相似．由于∠P是两三角形的公用角，图形中又有圆周角、切线与过切点的割线之间的夹角，所以应从两对应角相等的方向证明两三角形相似．

2．5  图解法、情境法释读数学现象与过程

用简洁的符号、图形或表格表述数学现象，使数学现象形象化、过程化，把文字表述繁琐的习题内容表达得简洁明了，使内容之间的相互关系容易释读，有了这捕捉和处理有效信息的步骤，接下来的思维过程及最终的解答过程就轻松多了．

捕捉思维目标指向能力的形成，先要掌握重要的概念、公式和定理，掌握解决简单问题的方法与技能，积累思维的素材和判断的依据；要精练具有一定覆盖面和一定综合性的典型题型；更要从解题思路方面进行反思、从方法技能方面进行小结，这种反思和小结，可使学生由点到面，模仿典型题型练相似或相联系的习题，能思考和解决与典型题型有联系的更多问题，起举一反三之效．