一擦一拭皆文章

 

一擦一拭皆文章

                               ——由数学习题课上学生手中的粉笔擦想到的

 

扬州市梅岭中学   张怡

【摘要】数学图形中线条的繁复恰恰是学生解题时头疼的根源，就像拿到了一个剪不断理还乱的线团。学生在课堂上巧用擦图法解题的事件引发了我对今后数学教学的一系列思考。

【关键词】教师，学生，粉笔擦，基本图形，简约

【正文】

2009年我在教八年级数学《一次函数》时曾经让学生做过这样一道题：“已知整数x满足-5≤x≤5，y₁=x+1, y₂=-2x+4,对于任意一个x，m都取y₁、y₂中的较小值，则m的最大值是多少？”

这是一个比较典型的数形结合问题，代数法也可以解决，但需要分类讨论，比较复杂：①当y₁≤y₂时，x+1≤—2x+4 ，则x≤1 ，此时—5≤x≤1 。因为m=y₁，所以 m的最大值是 x=1时 m＝2；②当y₁＞y₂时，同理可得  ： 1＜x≤5。因为m＝y₂  ，所以m的最大值是 x=5时 m＝—6。综上所述 x=1时 m有最大值等于2。

图象法就显得相当简洁：作出2条直线，它们的交点A的纵坐标就是m的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

当时解题思路是由一个思维很活跃的男生给出的，配合他的讲解，我在图象上作了如下标注以说明点A的纵坐标确实是m的最大值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   2010年九年级的数学习题课上，我又把这道题拿出来，目的是通过类比，引导学生探究2008年江苏省镇江市中考题第27题的第（3）问的解题思路：“在同一直角坐标系中作出函数 ， ， 的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空： 的最大值为         ．”

    有学生受到启发说：“和直线问题一样，只要找到交点就可以了，最大值应该就是交点的纵坐标。”

A5

A1

A2

A3

A4

按照学生的设想，我画出了如下示意图：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

学生发现居然出现了5个交点，一时间束手无策。

大家议论纷纷，有的说应该是取最高交点A₅的纵坐标，有的说应该是取最低交点A的纵坐标

这时，男生小杨举手示意，“给我个粉笔擦，我来讲给大家听。”

他走上讲台，一边擦一边说：“直线问题中的m=min 的函数图象其实就是这个，所以最高点自然是A，函数最大值就是A的纵坐标。”

 

 

m=min 的图象

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

他指着黑板一边擦，一边继续说，“而08年镇江的这题， m= 的图象应该是这个，所以A₂点才是最高点，m的最大值自然应该是A₂的纵坐标。”

 

A5

A1

A2

A3

A4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m= 的图象

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

小杨的讲解不但让下面的学生茅塞顿开，他手抓粉笔擦大刀阔斧擦图的行为也给我今后的数学教学带来诸多思考：

一、函数或是几何综合题在初中学生的学习中一直是一座难以攀爬的高峰，它或涉及运动的观念，或多个图象叠合，繁复的线条感是这类数学问题带给学生的困惑，而教师就是要在日常的教学中教会学生如何将繁复化为简约。学生因为思维惯性喜欢对着复杂的图形冥思苦想，而教师就是要利用粉笔擦的擦图提醒学生分解图像的重要性。

而分解图象是为了让繁复的图形简约化，它不代表随意地擦拭图中的线条，正如简约不等于简单，它是经过深思熟虑后得出的思路的延伸和拓展。为了让学生在复杂中把握重点，数学教师就应在平时的教学中重视基本图形的教学：1、在几何图形或是函数图象性质的探索阶段以及学完后的复习整理阶段鼓励学生进行分类，在分类中关注各种重要特征；2、鼓励学生在运动变化中认识图形及其特征，转一转、移一移、翻一翻，在动态中发现不变的性质；3、鼓励学生在复杂图形中辨别基本图形，发展识图能力；4、教师要注意不能仅仅就题讲题，要重视标准图形和变式图形，要精心设计一些不断变更问题情景或是改变思维角度，由易到难但事物的本质特征不会发生变化的数学问题；5、鼓励学生及时总结图形间的联系。

二、小杨能快速联想到擦图发现问题的实质，这其中的数学直觉功不可没。数学的逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的，笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可缺少的。就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的动作正是在平时训练产生的一种直觉。在现在题海战术的教育过程中，为了取得分数，数学老师习惯于把证明过程过分严格化、程序化，使得学生把解题成功多数归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。在学生开始学习平面几何的推理证明后，如何保护和培养学生的数学直觉思维，是我在将来的教学实践中要好好关注的问题。

三、简约，除了在分解复杂图象中至关重要，在数学老师的教学设计中也非常关键。

首先，问题情境的设置要简约，不应追求表面的繁华与热闹，这样的情境不但弱化了情境中的数学问题这一信息，不利于问题的激发，而且情境中科学思考的含量大大降低，使得科学思维能力的培养“名存实亡”。所以，情境必须摈弃浮华，返朴归真，应以培养数学思维能力的科学问题来引领。

其次，教师在教学环节的设计实施上，也要做到简约，有的教师不顾学生的主体地位，事先精雕细琢了若干个环节，甚至于将每一句话，每一个词每一个动作都预先设定，让学生往里钻，过多的死板的环节常常让老师过多地关注每一个环节,忽略了与学生有效地沟通。“环环相扣”的问题连珠炮地发问让学生疲于应付。最终两败俱伤，两手空空。所以只有抛开多余的环节，教师才能摆脱无形的束缚，跟着学生的思路，与学生进行真诚的交流，促进思维的发展。

最后，多媒体的选择也应简约，因为媒体地过分运用，有时也会触动学生的无意注意，使学生久久不能进入学习的思维状态。

陶行之先生在《教学合一》中写道：“我以为好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。教学生学有什么意思呢？就是把教和学联络起来：一方面要先生负指导的责任，一方面要学生负学习的责任，对于一个问题，不是要先生拿现成的解决方法来传授学生，乃是要把这个解决方法如何找来的手续程序，安排停当，指导他，使他以最短的时间，经过相类的经验，发生相类的理想，自己将这个方法找出来，并且能够利用这种经验理想来找别的方法，解决别的问题。”

通过“粉笔擦”事件，我将更努力地投入数学教学的研究。