反思我国传统数学教学的另一个视角 ──归纳与演绎
发布时间：2022-08-16 阅读次数：内容摘要：中学数学既是归纳体系又是演绎体系，应该既教证明又教猜测；既培养演绎或形式逻辑的思维方法，又充分注意观察、归纳、类比、联想、推广、猜测、检验等一整套合情推理思维方式的培养训练。从演绎的知识呈现方式到“归纳——演绎”的知识呈现方式可以成为反思传统中学数学教学的另一个视角。
一、对“反思”的反思
随着新课程的实施，教育界也开始了对传统数学教学的反思，反思的目的是为了扬弃其中不合理的成分，继承其中合理的成分。从反思的内容来看，主要集中在两个方面：一是关于传统数学教学中的双基，二是关于传统数学教学中欧氏几何的地位与作用。
然而，事实上从以上两方面去反思并没有能含盖传统数学教学的所有问题。比如说，新课程实施过程中，专家们一直批评课堂教学中存在的探究活动流于形式，深层原因到底是什么？中国学生“基础”扎实，为什么创新能力差？
过去对我国的传统教学的批判，一般是从教育学的角度展开，把“罪过”归因于凯洛夫的教育学。其实长期从事过中学数学教学的老师都有体会，传统的数学教材是以学科体系为本位的，知识大多以演绎的逻辑方法展开。虽然由于教师会对教材加以“处理”，会略有变化，但“课本”乃课之所本，百变难离其宗，这是中国数十年来数学的基本形式。于是课堂教学就是数学的演绎体系的直接反映，是数学“抽象性、精确性”在课本中的体现。具体表现就是：在数学课上，经常要用一部分时间去证明定理。讲授的材料越是艰深或是抽象，这部分时间可能越长。证明的目的之一，是借助推理，使学生确信一些命题是真的。在低年级课堂上常常会——这是所有教师都体验过的——有一些诚实又糊涂的学生，用喊叫打断证明：“我不懂为什么你那样做，我不理解为什么你这样说、而且我不理解你怎么会那样做的。”
学生说：老师，您讲得很妙，可是拿到题我不知怎么下手。
学生说：我讨厌数学。
学生说：我想学好数学，但不知道怎么学，也没有信心学好。
教师面临的是理解的危机。如何对付这种危机？很遗憾，没有什么好的方法。
其实，对于已习惯于演绎推理的“我们”来说，这点是很容易理解的，因为学生的种种反应，正是“演绎模式教学”的直接推论。
以2001年12月人教版代数第三册第28页一元二次方程的根与系数的关系为例：
我们知道，一元二次方程的求根公式是由系数表达的,下面我们来研究一元二次方程的两个根的和、两个根的积与系数的关系。
在这个过程中，学生并不知道为什么要研究根与系数的关系，也不知道两个根为什么要加，为什么要乘。教科书上的注解是：“这个结论可以看作定理。要引导学生观察其结构特点，以加深印象。”教学目标是：“掌握一元二次方程的根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数，会求一元二次方程的两个根的倒数和与平方和” 。
这是一个演绎的过程，学生学习是接受式的，谈不上发现，谈不上创新。最后好的学生是“只会考高分”，“差”的是对数学“恨而远之”！
怎样解决这个问题？怎样摆脱这种难堪的局面？
消除难堪“结论”的最好方法是消除它的“前提”。
数学的新成果表明：中学数学既是归纳体系又是演绎体系，应该既教证明又教猜测；既培养演绎或形式逻辑的思维方法，又充分注意观察、归纳、类比、联想、推广、猜测、检验等一整套合情推理思维方式的培养训练”1。所以，教学过程中存在的形式化的探究活动，以及中国学生基础扎实而创新能力差，其根源在于知识的呈现方式是演绎的。这就给我们提供了另一个反思传统数学教学的视角，这就是要用“归纳—演绎”的教育方式取代纯演绎的数学模式。
二、归纳思维的价值
演绎推理来源于亚里士多德，他在《工具论》提出了著名的三段论理论，即大前提、小前提、结论。是一种前提与结论之间有必然性联系的推理，是基于概念、按照规则进行的推理，是由一般到特殊的推理。就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符号，按照规定的法则进行命题证明或者公式推导。就欧氏几何而言，在公理和公设的基础上：“已知A求证B”，其中A和B都是确切的命题。演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。
归纳是由个别的事例向关于这一类事物的一般性的过渡，是一种对经验、对实验观察结果进行去粗取精、去伪存真的综合处理方法。人们用归纳法清理事实，概括经验，处理资料，从而形成概念，发现规律。与演绎推理相反，归纳推理是一种从特殊到一般的推理。借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。
归纳是人们认识的一个非常重要的环节，是每个科学家都在实际使用的方法，即使在以精密的演绎推理而著称的数学研究中，实验（计算和画图）、观察、归纳也起着非常重要的作用。
数学家徐利治说:“为什么数学真理……有时可以通过实验与归纳方法去发现呢？原因很简单，因为数学对象本身也具有客观实在性。普遍命题在完成证明之前往往是一种猜想，……但在许多情况下，推广和预见的过程中，已蕴含有普遍命题的直观论证或不甚严格的证明”。
就欧氏几何而言，这个体系的三大基础——原始概念，公理Ⅰ、Ⅱ，推理模式，本身都不是演绎（严格定义或证明）的，而靠的是归纳和概括：一是概括以前人们长期实践的经验，一是以后对由它推论出的命题的检验（科学的和实践的检验）。这样看来，归纳不仅没有影响它的严谨性，而且还增强了人们对它的严谨性的信心，更令人鼓舞的是，实践使人们对几何的无矛盾性深性不疑。
“我们再看看演绎过程。我们看到，当我们想建立一个命题时，在通常情形下，是通过归纳推理（归纳、类比、推广、限定、检验等）建立猜想，然后再通过联想、试探推测证明途径，一直到瓜熟蒂落，全线贯通，才用演绎的形式，把它整理书写出来，完成一个真命题（定理）的建立过程。可见，演绎的方向和过程的寻求，也是离不开归纳的。演绎中有归纳，演绎过程始终离不开归纳”2。
在初中数学课上,老师让同学们用量角器测量三角形三个内角的角度,然后把三个角度加起来.这样测量过几个很不相同的三角形之后,大家会得出共同的结论:三角形的三个内角之和是180o .
这样认识事物的方法叫归纳法。
“归纳与演绎是对立的统一，是人类认识世界的两个基本方法，他们相互支持，相互补充，使我们越来越接近真理”3。
三、一次有益的尝试
由人民教育出版社出版的义务教育课程标准数学实验教科书，在这方面做了有益的尝试。我们在使用人民教育出版社义务教育课程标准实验教材的过程中发现，并没有出现专家们广泛批评的所谓形式化的探究活动。原因在于，这套教材改变了传统数学教材以演绎为主的知识呈现方式，较多的采用了归纳——演绎的呈现方式。
同样以一元二次方程的根与系数的关系为例。（新课标人教 2005年10月版，第54页）
发现一元二次方程根与系数的关系。
解方程x2+6x-16=0,得它的两个根x1=2,x2=-8,你能看出这两个根与方程的系数6，-16有什么关系吗？
你会发现，x1+ x2=-6，这个和是方程中一次项系数6的相反数；x1x2=-16，这个积是方程中的常数项，由此能发现一般规律吗？
不妨再对几个二次项系数是1的一元二次方程进行观察，例如解方程x2-3x+2=0,得出根x1=1，x2=2后，计算x1+ x2=3，x1x2=2，观察所得结果与相应方程的系数，你有什么发现？
通过上面的观察可以猜想，对任意一元二次方程x2+mx+n=0(m,n是系数)，方程的两个根x1，x2和系数m，n可能有如下关系：x1+x2=-m,x1x2=n.
上述猜想是否正确呢？利用求根公式可知，当m2-4n≥0时，方程x2+mx+n=0的两根为
于是有
如果一元二次方程的二次项系数不是1，你又能发现什么规律？你可以利用求根公式，探索任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根与系数a,b,c有什么关系。
这是一个典型的归纳——演绎呈现方式，学习的过程就是一个探究的过程。显然，这样更能反映数学的本质，更加有利于培养学生的创新能力。正如东北师范大学校长史宁中教授所说：“现在我们来思考数学基础教育，思考除了知识之外还能教给学生些什么。我想这就是演绎和归纳。中国50年来的数学基础教育，一直是重演绎、轻归纳，即给出已知条件，求证一个结论， 这是演绎的方法。但没有让学生们试着去推导出什么结论，也就是没有教归纳的方法。这不利于培养创新型的人才,如果在数学学科教学中教会了学生这两种方法，那就体现了数学教学中的素质教育”。4
参考资料：
1、2.《数学发现的艺术》杨世民王雪琴著（青岛海洋大学出版社1999年版）
3.《数学与哲学》张景中（中国少年儿童出版社2003年版）
4.《数学与数学教育》史宁中（东北师范大学出版社2007年版）