在反思中成长，在成长中反思

在反思中成长，在成长中反思

扬州市梅岭中学  樊江琳

【内容摘要】  反思是对自己的思维过程、思维结果进行再认识的检验过程。它是数学学习中不可缺少的重要环节。教师可以从数学学习中所涉及的数学思想、数学方法和问题本质入手，培养学生的反思能力。

【关键词】反思   数学思想  数学方法   本质

我国古代思想家、教育家孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。” 它是我国较早提出的反思作用的理论之一。美国学者波斯纳提出个体成长的公式为：经验+反思=成长。他认为没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的知识。数学学习是需要反思的，没有反思的数学学习是不可能深刻的！

反思是对自己的思维过程、思维结果进行再认识的检验过程。它是数学学习中不可缺少的重要环节。当代建构主义学说认为学习不是被动的接受，不是单纯地复制与同化，它要求学生在活动中进行建构，要求学生对自己的活动过程不断地进行反省、概括和抽象。由于数学对象的抽象性，数学活动的探索性，数学推理的严谨性和数学语言的特殊性，决定了正处于思维发展阶段的中学生不可能一次性直接地掌握数学活动的本质，所以必须要经过多次地反复思考、深入研究、自我调整，，即坚持反思性数学学习，才能洞察数学活动的本质特征。显然，数学学习过程中的反思如同生物体消化食物和吸收养分一样，是别人无法代替的。但在目前的数学教学实践中最薄弱的正是反思性学习这一环节，但它却是数学学习活动的重要的环节。教师可以从数学学习中所涉及的数学思想、数学方法和问题本质入手，培养学生的反思能力。

一、反思数学学习中所涉及的数学思想

中学数学中蕴涵的思想方法主要有：数形结合思想，转化的思想，函数与方程思想，分类讨论思想，整体思想等。数学学习的精髓所在就是数学的思想方法，良好的掌握数学思想方法，对学生在平时的数学学习中有很大的帮助。例如在求阴影部分面积时，学生在解决例1时遇到了下面的问题

例1：如图所示，一个同心圆环中，大圆的弦ＡＢ与小圆相切于Ｃ，且ＡＢ＝６，求圆环的面积 

按照常规思路，圆环的面积等于大小圆的面积之差，而两圆的半径大小未知，好像是无法求得。但 ，

这里我们需要的两圆半径差的平方，而不是两圆的半径。

解：连结OC、OB，由AB为小⊙O的切线得∠OCB为直角；

BC＝ AB＝3，OB²－OC²＝BC²＝9

∴ 　

通过本题反思学生发现要求圆环面积，首先回归到本质就是求大小圆的面积之差，其次当求单个条件即两圆的半径遇到困难时，观察式子可以不需要分别求两圆的半径，只要知道两圆半径差的平方这一整体即可。接着我向学生出示了下面两条题目。

拓展1、如图: ⊙Ａ、⊙Ｂ、⊙Ｃ、⊙Ｄ、⊙Ｅ相互外离，它们的半径都是１，顺次连结五个圆的圆心，得五边形ＡＢＣＤＥ，则图中五个扇形的面积之和是＿＿。

学生进行了如下分析：圆心角不知大小，所以每个扇形的

面积无法求得，但是所有的圆心角之和可求得

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝（5-2）×180°=540°

拓展2、如图所示，直角坐标系中，以原点为圆心的三个同心圆，最大的圆为单位圆（即半径为1），求图中阴影部分的面积之和。

学生进行了如下分析：各部分的面积之和无法求得，但将第二、三象限的阴影绕点O旋转至第一象限后得扇形OAB。

解：

通过以上几题，学生对整体思想有了一定的认识。在日常的教学活动中我们要引导学生注意发现在数学学习中运用了哪些数学思想方法，是如何运用的，这些数学思想方法各有什么特点，什么情景下运用了这些数学思想方法等等。学生自我进行反思这些数学思想方法，从而逐步提高其分析问题解决问题的能力。

二、反思数学学习中所涉及的数学方法

学生在解题时往往满足于求出题目的正确答案，而对自己的解题方法的好坏却从来不加评价，从而导致在作业中经常出现解题过程单一，思路不够清晰，或者再次遇到同类型的问题由于题目换了一种形式又“卡壳”了等等现象，这种现象的产生就是由于学生只满足于“听懂”或“看懂”的层次上，并没有进行深入的思考，没有回顾解题过程中的解题方法，没有将老师所讲方法通过反思转化为自己的方法。因此，教师必须引导学生反思解题方法的优劣，优化解题过程，把优化的过程变成学生反思的过程，努力让学生亲身“悟”出最佳方法，促进学生创新思维的发展。

解法一、由切线长定理得CE=CF=r，得AG=AF=6-r,BG=BE=8-r,

再由AG+BG=10得（6-r）+（8-r）=10，得r=2.

解法二、

解法一抓住了运用切线长定理（即AG=AF，CE=CF，BG=BE），而解法二是考虑了切线的性质（OE=OF=OG=r,OF⊥AC，OE⊥BC，OG⊥AB），运用面积法解决问题，解法二更适用于任意三角形，在有关求高或距离的题目中这种方法也是一种常见的解题方法。

数学发展观认为：数学如同其它事物一样, 是不断在运动、变化中发展的,又在不断发展中展现新的活力与生命。如果将每一个数学问题看成是“活生生”的事物而不是“死板”的东西,用数学发展观来认识它、研究它,那么我们不仅仅能很好地解决这个问题,还会最大限度地拓宽视野,提高思维的广度、深度。因此在数学学习中不能满足就题论题，要注意要多角度、多途径、全方位地对题目进行分析、挖掘，通过不断的反思引导学生将所学知识串连起来。

三、反思数学学习中问题本质

数学问题是形式多样的，有些题目的形式虽然不一样，但可归结到一种题型上；有些数学问题形似神不似，具有一定的迷惑性．通过对问题本质的反思，对形异质同的问题进行归类，总结出通性通法；对形似质异的问题提高辨别能力，避免错解的发生．因此，激励学生对问题本质的自主探索，有利于激发学生学习数学的兴趣，挖掘学生认知的潜能，增强学生学习的内驱力．

例3、 如图，一个等边三角形的边长和与它一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直到回到原出发位置时，该圆自转了几圈？（   ）

分析：因为圆与三角形是相切的，且做无滑动旋转，所以其他的因素就可以忽略不计．一个三角形有３条边和３个顶点，可分两方面考虑：一方面考虑在边上的滚动；另一方面考虑在顶点处的转动．圆在一条边上做无滑动的旋转，用三角形的边长除以圆的周长，就是圆在一边所转过的圈数，因为三角形边长等于圆的周长．所以经过一条边，圆刚好转了1圈，三条边上就是3圈．圆在顶点处的旋转，当圆沿三角形的一边跃过顶点，旋转到另一边时，圆转过了120°，即圆经过一个顶点转120°，经过三个顶点共转120°×3=360°；刚好为1圈.所以，综合以上两个方面，圆共转过4圈，故选C.

教师适时引导学生反思该题，如果把这道题目的已知条件进一步拓展：

（1）如果圆的周长等于等边三角形的边长的2倍？3倍？

（2）如果这个三角形不是等边三角形，是一般三角形？

（3）把等边三角形改为正方形？

（4）把三角形改为五边形、六边形……n 边形呢？

通过把一道题目变成几个题目，不断地提出问题构成问题链，通过这些形异质同的问题的解决，使学生掌握解决这一类问题的实质：即圆沿着平面凸n边形的边做无滑动旋转，从一个位置出发回到原出发位置时，该圆所转过的圈数等于多边形的周长除以圆的周长加1.

荷兰著名数学家和数学教育家费赖登塔尔教授指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”对学生而言，每次学习仅是一种经历，只有通过不断的反思，把经历提升为经验，学习才具备了真正的价值和意义。从这个意义上说，帮助学生养成学习反思的习惯，培养学生的反思意识，对学生的个性发展有不可估量的作用。每个教师都应充分利用课堂教学这一阵地，致力于学生反思能力的培养。使每一位学生的认知活动都伴随着丰富的情感，愉快的情绪，积极的反思，变得感知敏锐、想象丰富、思维活跃，使每一位学生都能在反思中成长，在成长中反思，进而达到素质的综合提高。

【参考文献】

1、涂荣豹《论反思性数学学习》数学教育学报2000、11

2、童桂恒《强化反思意识，促进自主学习》

3、黄尉《培养学生反思能力的实践与认识》